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A Group Law on the Projective Plane with Applications in Public Key Cryptography

abelian group law
discrete logarithm problem
norm of an extension
projective cubic curve
Raúl Durán Díaz, Luis Hernández Encinas and Jaime Muñoz Masqué
Mathematics, 8(5), 734 (2020), 20pp., Special Issue "Mathematics Cryptography and Information Security (Q1, Mathematics, F.I. 1.105)
https://doi.org/10.3390/math8050734

In the context of new threats to Public Key Cryptography arising from a growing computational power both in classic and in quantum worlds, we present a new group law defined on a subset of the projective plane $F$$P$2 over an arbitrary field $F$ , which lends itself to applications in Public Key Cryptography and turns out to be more efficient in terms of computational resources. In particular, we give explicitly the number of base field operations needed to perform the mentioned group law. Based on it, we present a Diffie-Hellman-like key agreement protocol. We analyze the computational difficulty of solving the mathematical problem underlying the proposed Abelian group law and we prove that the security of our proposal is equivalent to the discrete logarithm problem in the multiplicative group of the cubic extension of the finite field considered. We present an experimental setup in order to show real computation times along a comparison with the group operation in the group of points of an elliptic curve. Based on current state-of-the-art algorithms, we provide parameter ranges suitable for real world applications. Finally, we present a promising variant of the proposed group law, by moving from the base field $F$ to the ring $Z/pqZ$ , and we explain how the security becomes enhanced, though at the cost of a longer key length.

Funding

This research has been partially supported by Ministerio de Economía, Industria y Competitividad (MINECO), Agencia Estatal de Investigación (AEI), and European Regional Development Fund (ERDF, EU), through project COPCIS, Grant No. TIN2017-84844-C2-1-R, and by Comunidad de Madrid (Spain) through project CYNAMON, Grant No. P2018/TCS-4566-CM, co-funded along with ERDF.

GiCSI

proyecto/s relacionado/s

  • Cybersecurity, Network Analysis and Monitoring for the Next Generation Internet. CYNAMON
    Plan Regional de Investigación Científica e Innovación Tecnológica (Comunidad de Madrid), Fondos Feder, Fondo Social Europeo
  • Criptografía para Optimizar la Privacidad y la CIberSeguridad (COPCIS)
    Plan Estatal de Investigación Científica y Técnica y de Innovación 2013-2016, Programa Estatal de I+D+i Orientada a los Retos de la Sociedad (AEI), Fondos Feder
Departamento de Acústica y Evaluación No Destructiva (DAEND)
  • GAA: Grupo de Acústica ambiental
  • G CARMA: Grupo de Caracterización de materiales mediante evaluación no destructiva
  • ULAB: Ultrasonidos para el análisis de líquidos y bioingeniería
Departamento de Tecnologías de la Información y Las Comunicaciones (DTIC)
  • GiCP: Grupo de investigación en Ciberseguridad y Protección de la Privacidad
  • GICSI: Grupo de investigación en Criptología y Seguridad de la Información
    • LCQE: Laboratorio de Comunicaciones Cuánticas
  • PSUM: Grupo de Procesamiento de Señal en sistemas Ultrasónicos Multicanal
Departamento de Sensores y Sistemas Ultrasónicos (DSSU)
  • GSTU: Grupo de Sistemas y tecnologías ultrasónicas
  • NoySI: Grupo de Nanosensores y Sistemas Inteligentes
  • RESULT: Resonadores ultrasónicos para cavitación y micromanipulación
  • SENSAVAN: Grupo de Tecnología de Sensores Avanzados
  • QE: Electrónica Cuántica
Laboratorios
  • Laboratorio de Acústica
  • Laboratorio de Metrología Ultrasónica Médica (LMUM)
  • Laboratorio de Comunicaciones Cuánticas
  • Laboratory for International Collaboration in Advanced Biophotonics Imaging

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